Floating Point Nommer Into Binary Options

Floating point Thomas Finley, April 2000 Inhoud en Inleiding Hierdie dokument verduidelik die IEEE 754 swaai-punt standaard. Dit verduidelik die binêre voorstelling van hierdie getalle, hoe om te skakel na desimaal uit drywende punt, hoe om te sit van drywende punt om desimaal bespreek spesiale gevalle in drywende punt, en uiteindelik eindig met 'n paar C-kode vir kinders begrip van drywende punt te bevorder. Hierdie dokument dek nie bedrywighede met drywende punt getalle. Ek het hierdie dokument so dat as jy weet hoe om voor te stel, kan jy die artikel verteenwoordiging slaan, en as jy weet hoe om te skakel na desimaal uit enkele presisie, kan jy daardie artikel slaan, en as jy weet hoe om te skakel na enkele presisie uit desimale, kan jy daardie artikel slaan. Verteenwoordiging In die eerste plek weet dat binêre getalle kan hê, as jy sal my gesê so 'n desimale punt vergewe. Dit werk min of meer dieselfde wyse as wat die desimale punt doen met desimale getalle. Byvoorbeeld, die desimale 22,589 bloot 22 en 510 -1 810 -2 910 -3. Net so is die binêre getal 101,001 is eenvoudig 12 2 02 1 12 0 02 -1 02 -2 12 -3. of eerder net 2 2 2 0 2 -3 (hierdie spesifieke aantal werk uit te wees 9,125, as dit jou denke help). Tweedens, weet dat binêre getalle, soos desimale getalle, kan in wetenskaplike notasie. Bv Die desimale 923,52 kan soos volg voorgestel word 9,2352 10 2. Net so, binêre getalle uitgedruk kan word dat die pad so goed. Sê ons het die binêre getal 101011.101 (wat is 43,625). Dit sou voorgestel word deur wetenskaplike notasie as 1.01011101 2 5. Nou dat Im seker die begrip is volmaak nie, kan ek uiteindelik kry in verteenwoordiging. Die enkele presisie drywende punt eenheid is 'n pakkie van 32 stukkies, verdeel in drie afdelings 'n bietjie, agt stukkies, en drie en twintig stukkies, in daardie volgorde. Ek sal gebruik maak van die voorheen genoem binêre getal 1.01011101 2 5 maak om te illustreer hoe 'n mens 'n binêre getal in wetenskaplike notasie sou neem en dit op drywende punt notasie. As ons net sit van Hex binêre, 0x64 is 0110 0100, wat dieselfde resultaat as die 011001 bo opgelewer. Hierdie metode is baie vinniger. In elk geval Ons neem die getalle wat ons gekry het, en hulle verteenwoordig as 0,011001, plaas hulle in die volgorde wat ons hulle verkry. Plaas in volgorde met ons binêre voorstelling van 329, kry ons 101.001.001,011001. In ons binêre wetenskaplike notasie, dit is 1,01001001011001 2 8. Ons gebruik dan wat ons weet oor hoe enkele presisie getalle verteenwoordig om hierdie proses te voltooi. Die teken is positief, dus is die veld teken is 0. Die eksponent is 8. 8 127 135, sodat die veld eksponent is 10000111. Die MANTISSA is bloot 01001001011001 (onthou die geïmpliseer 1 van die MANTISSA beteken dat ons dit nie sluit die voorste 1) plus egter baie 0e ons moet voeg na die regterkant na daardie binêre getal 23 stukkies lank maak. Sedert een van die huiswerkprobleme behels hierdie verteenwoordig as Hex, sal ek klaar met 'n blok nommer. Dan breek ons ​​dit in vier bietjie stukke (sedert elke heksadesimale syfer is gelykstaande aan 4 stukkies) en dan sit elke vier bietjie hoeveelheid in die ooreenstemmende heksadesimale syfer. So, in heksadesimaal, hierdie nommer is 0x43A4B200. Spesiale Nommers Soms is die rekenaar voel 'n behoefte gevolg uit te steek van 'n berekening wat weerspieël dat sommige fout gemaak. Miskien is die grootte van die resultaat van 'n berekening was groter of kleiner as hierdie formaat blyk te wees om te ondersteun. Miskien probeer jy om te verdeel deur nul. Miskien is jy probeer om verteenwoordig nul Hoe word 'n ooreenkoms met hierdie kwessies Die antwoord is dat daar spesiale gevalle van drywende punt getalle, spesifiek wanneer die veld eksponent is al 1 stukkies (255) of al 0 stukkies (0). Denormalized Nommers As jy 'n eksponent veld dis al nul stukkies, dit is whats genoem denormalized nommer. Met die veld eksponent gelyk aan nul, sou jy dink dat die werklike eksponent -127 sou wees, sodat hierdie nommer die vorm van 1.MANTISSA 2 -127 soos hierbo beskryf sou neem, maar dit beteken nie. In plaas daarvan, is dit 0.MANTISSA 2 -126. Let daarop dat die eksponent is nie meer die waarde van die veld eksponent minus 127. Dit is eenvoudig -126. Let ook op dat ons nie meer 'n stilswyende 'n bietjie vir die MANTISSA sluit. As 'n voorbeeld, neem die drywende punt getal verteenwoordig as 0x80280000. In die eerste plek te sit hierdie binêre. Ons teken bietjie is 1, sodat hierdie nommer is negatief. Ons eksponent is 0, sodat ons weet dit is 'n denormalized nommer. Ons MANTISSA is 0101, wat 'n ware MANTISSA van 0,0101 onthou ons nie sluit wat voorheen 'n stilswyende 'n bietjie vir 'n eksponent van nul weerspieël. So, dit beteken ons het 'n aantal -0,0101 2 2 -126 -0,3125 10 2 -126 -1,25 10 2 -128. Zero Jy kan dink nul as net nog 'n denormalized nommer. Zero word verteenwoordig deur 'n eksponent van nul en 'n MANTISSA van nul. Van ons begrip van denormalized getalle, dit vertaal in 02 -126 0. Hierdie teken bietjie kan óf positief (0) of negatief (1), wat lei tot 'n positiewe of negatiewe zero. Dit nie die geval is maak baie sin wiskundig, maar dit word toegelaat nie. Infinity Net soos die geval van alle nul stukkies in die veld eksponent is 'n spesiale geval, so is die geval van alle mens stukkies. As die veld eksponent is al kinders en die MANTISSA is al nulle, dan is hierdie getal is 'n oneindig. Daar kan óf positief of negatief oneindighede afhangende van die teken bietjie. Byvoorbeeld, 0x7F800000 positief oneindig, en 0xFF800000 negatief oneindig. NaN (nie 'n nommer) Hierdie spesiale hoeveelhede 'n eksponent gebied van 255 (almal een stukkies) soos oneindigheid, maar verskil van die voorstelling van die oneindigheid in die MANTISSA bevat 'n paar een stukkies. Dit maak nie saak waar hulle is of hoe baie van hulle daar is, net so lank as wat daar is 'n paar. Die teken bietjie blykbaar geen invloed op hierdie te hê. Voorbeelde van hierdie spesiale hoeveelheid sluit 0x7FFFFFFF, 0xFF81ABD0, 0x7FAA12F9, en soforth. Opsomming van spesiale gevalle 'n Opsomming van spesiale gevalle word in die tabel hieronder. Dit is min of meer 'n afskrif van die tabel op bladsy 301 van die tweede uitgawe van Computer Organization and Design, die Hardware sagteware koppelvlak deur Patterson en Hennessy, die handboek vir Rekenaarwetenskap 104 in die lente 2000 semester. Selfs al is net enkele presisie is gedek in die bogenoemde teks, ek sluit dubbele presisie ter wille van volledigheid. Wanneer, Waar, en Waar Nie wanneer jy bedrywighede soos 0/0 of af te trek oneindigheid van oneindigheid (of 'n ander dubbelsinnige berekening) het, sal jy NaN kry. Wanneer julle 'n skeiding van 'n aantal deur nul is, sal jy 'n oneindigheid te kry. Maar, rekeningkunde vir hierdie spesiale operasies neem 'n paar ekstra poging aan die kant van die ontwerper, en kan lei tot stadiger bedrywighede as meer transistors gebruik word in chip ontwerp. Om hierdie rede soms CPUs nie verantwoordelik vir hierdie bedrywighede, en in plaas genereer 'n uitsondering nie. Byvoorbeeld, wanneer ek probeer om te verdeel deur nul of doen bedrywighede met oneindigheid, my rekenaar genereer uitsonderings en weier om die aksie te voltooi (my rekenaar het 'n G3-verwerker, of MPC750). Helper sagteware As jy belangstel in verdere ondersoek, ek sluit twee programme waarvoor ek verskaf die C-kode wat jy kan hardloop om 'n beter begrip van hoe swaai punt werke, en ook om jou werk na te gaan op verskeie opdragte te kry. Hex 2 Float Hierdie program aanvaar as toevoer 'n heksadesimale hoeveelheid en lees dit as rou data in die veranderlike theFloat. Die program uitgange dan die heksadesimale voorstelling van die data in theFloat (herhaling van die insette), en druk saam met dit die drywende punt hoeveelheid wat dit verteenwoordig. Ek wys hier 'n voorbeeld loop van die program. Let op die spesiale geval swaai punt hoeveelhede (0, oneindig, en nie 'n paar). Vir die denormalized maar nie-nul getalle, sal hierdie program vertoon nul selfs al is die getal is nie regtig nul. As jy wil om hierdie probleem te kry, vervang die f in die opmaak string van die printf funksie met e, wat die getal sal deplay groot presisie met wetenskaplike notasie. Ek het dit nie as 'n e omdat ek vind wetenskaplike notasie uiters irriterende. Dryf 2 Hex Dit is 'n effense wysiging van die Hex 2 Float program. Die uitsondering is dit lui in 'n drywende punt nommer. Net soos en uitgange die heksadesimale vorm plus die swaai punt nommer. Weereens ek sluit 'n monster loop van hierdie program, wat bevestig dat die resultate van die voorbeeld probleme wat ek vroeër gedek in hierdie teks, saam met 'n paar ander eenvoudige gevalle. Let op die heksadesimale voorstelling van 0.2. En dis die einde van die hoofstuk. Thomas Finley 2000Float om Desimale Gesprek Die Gesprek Prosedure Die reëls vir die omskakeling van 'n drywende punt nommer in desimale eenvoudig om te keer van die desimale te swaai punt omskakeling: As die oorspronklike getal is in hex, skakel dit om na binêre. Skei in die teken, eksponent en MANTISSA velde. Pak die MANTISSA van die veld MANTISSA, en die herstel van die voorste een. Jy kan ook laat die sleep nulle. Pak die eksponent van die veld eksponent, en trek die vooroordeel aan die werklike eksponent van twee herstel. Soos tevore, die vooroordeel is 2 k minus1 minus 1, waar k die aantal bisse in die veld eksponent, gee 3 vir die 8-bis-formaat en 127 vir die 32-bit. De-normaliseer die nommer: beweeg die binêre punt so die eksponent is 0, en die waarde van die getal onveranderd. Skakel die binêre waarde desimaal. Dit word gedoen net soos met binêre heelgetalle, maar die plekwaarde regterkant van die binêre punt is breuke. Stel die teken van die desimale getal volgens die wonderteken bietjie van die oorspronklike swaai punt nommer: maak dit negatief vir 1 verlaat positief vir 0. As die binêre eksponent is baie groot of klein, kan jy die MANTISSA direk na desimale omskep sonder de - normaliseer. Gebruik dan 'n sakrekenaar om twee in te samel om die eksponent, en voer die vermenigvuldiging. Dit sal 'n geskatte antwoord gee, maar is voldoende in mees gevalle. Voorbeelde Die gebruik van Die Gesprek Prosedure Skakel die 8-bit floating point nommer E7 (in blok) om desimaal. Skakel: E7 16 11100111 2. Seprate: 1 110 0111 MANTISSA: 1,0111 Exponent: 110 2 6 10 6 minus 3 3. De-normaliseer: 1,0111 2 keer 2 3 1011,1 Skakel: Desimale te swaai komma Doelskoppe Die Gesprek Prosedure Die reëls vir die omskakeling van 'n desimale getal in drywende punt is soos volg: Skakel die absolute waarde van die getal te binêre, miskien met 'n breukdeel na die binêre punt. Dit kan gedoen word deur die omskakeling van die integrale en breukdele afsonderlik. Die integrale deel omgeskakel met die voorheen ondersoek tegnieke. Die breukdeel kan omgeskakel word deur vermenigvuldiging. Dit is basies die omgekeerde van die afdeling metode: ons herhaaldelik vermenigvuldig met 2 en oes elkeen net so blyk dit links van die desimale. Voeg keer 2 0 tot die einde van die binêre getal (wat die waarde daarvan nie verander). Normaliseer die getal. Beweeg die binêre punt sodat dit 'n bietjie van links. Eers die eksponent van twee sodat die waarde nie verander nie. Plaas die MANTISSA in die veld MANTISSA van die getal. Laat die voorste een, en vul met nulle aan die regterkant. Voeg die vooroordeel aan die eksponent van twee, en plaas dit in die veld eksponent. Die vooroordeel is 2 k minus1 minus 1, waar k die aantal bisse in die veld eksponent. Vir die agt-bietjie-formaat, k 3, sodat die vooroordeel is 2 3minus1 minus 1 3. Vir IEEE 32-bit, k 8, sodat die vooroordeel is 2 8minus1 minus 1 127. Stel die teken bietjie, 1 om 'n negatiewe, 0 vir positiewe, volgens die teken van die oorspronklike getal. Die gebruik van die Conversion Prosedure Skakel 2,625 vir ons 8-bit floating point formaat. Die integrale deel is maklik, 2 10 10 2. Vir die breukdeel: Genereer 1 en niks bly. So 0,40625 10 0,01101 2. Normaliseer: 0,01101 2 1,101 2 keer 2 -2. MANTISSA is 1010, eksponent is -2 3 1 001 2. teken bietjie 0. So 0,40625 is 0 001 1010 1A 16 Skakel -12,0 ons 8-bit floating point formaat. 12 10 1100 2. Normaliseer: 1100,0 2 1.1 2 keer 2 3. MANTISSA is 1000, eksponent is 3 3 6 110 2. teken bietjie is 1. Dus -12,0 is 1 110 1000 E8 16 Skakel desimale 1.7 om ons 8-bit floating point formaat. Die integrale deel is maklik, 1 10 1 2. Vir die breukdeel: Genereer 1 en voort te gaan met die res. Die rede waarom die proses lyk eindeloos voort, is dat dit nie. Die aantal 7/10, wat 'n heel redelik desimale breuk maak, is 'n herhalende fraksie in binêre, net soos die faksie 03/01 is 'n herhalende fraksie in desimale. (Dit herhaal in binêre sowel.) Ons kan dit nie presies verteenwoordig as 'n drywende punt nommer. Die naaste wat ons kan kom in vier stukkies is 0,1011. Aangesien ons reeds 'n leidende 1, die beste agt-bis getal wat ons kan maak is 1,1011. Reeds genormaliseer: 1,1011 2 1,1011 2 keer 2 0. MANTISSA is 1011, eksponent is 0 3 3 011 2. teken bietjie is 0. Die resultaat is 0 011 1011 3b 16. Dit is nie presies, natuurlik. As jy dit omskep terug na desimale, kry jy 1,6875. Skakel -1313.3125 om IEEE 32-bit floating point formaat. Die integrale deel is 1313 10 10100100001 2. Die fraksionele: Genereer 0 en continue. A Tutoriaal oor datavoorstelling Heelgetalle, Swaai-punt Nommers, en karakters nommer Systems Mense gebruik desimale (basis 10) en duodecimaal (basis 12) getalstelsels vir tel en metings (waarskynlik omdat ons 10 vingers en twee groot tone). Rekenaars gebruik binêre (basis 2) getallestelsel, as hulle is gemaak van binêre digitale komponente (bekend as transistors) wat in twee state - op en af. In die rekenaarwese, gebruik ons ​​ook heksadesimale (basis 16) of oktale (basis 8) getalstelsels, as 'n kompakte vorm vir verteenwoordig binêre getalle. Desimale (Base 10) Nommer Stelsel desimale getallestelsel het tien simbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9, genaamd syfer s. Dit maak gebruik van posisionele notasie. Dit wil sê, die minste beduidende syfer (regs-mees syfer) is van die orde van 100 (eenhede of kinders), die tweede mees regse syfer is van die orde van 101 (tien), die derde mees regse syfer is van die einde van 102 (honderde), en so aan. Byvoorbeeld, sal ons 'n desimale getal dui met 'n opsionele agtervoegsel D as dubbelsinnigheid ontstaan. Binêre (Base 2) nommer System binêre getallestelsel het twee simbole: 0 en 1, genoem stukkies. Dit is ook 'n posisionele notasie. byvoorbeeld, sal ons 'n binêre getal met 'n agtervoegsel B. Sommige programmeertale dui binêre getalle met voorvoegsel 0B (bv 0b1001000), of voorvoegsel b met die aangehaalde stukkies dui (bv b10001111). 'N binêre syfer is bekend as 'n bietjie. Agt stukkies is 'n byte (hoekom 8-bit eenheid Waarskynlik omdat 82 3) genoem. Heksadesimale (Base 16) Nommer Stelsel heksadesimale getallestelsel gebruik 16 simbole: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E en F, genoem Hex syfers . Dit is 'n posisionele notasie. byvoorbeeld, sal ons 'n heksadesimale getal (in kort, Hex) met 'n agtervoegsel H. Sommige programmeertale dui Hex getalle met voorvoegsel 0x (bv 0x1A3C5F), of voorvoegsel x met Hex syfer aangehaal (bv xC3A4D98B) aan te dui. Elke heksadesimale syfer is ook bekend as 'n blok syfer. Die meeste programmeertale aanvaar klein A tot F asook hoofletters A tot F. Rekenaars gebruik binêre stelsel in hul interne bedrywighede, soos hulle is gebou uit binêre digitale elektroniese komponente. Maar, skryf of lees 'n lang reeks van binêre stukkies is omslagtig en fout sensitiewe. Heksadesimale stelsel word gebruik as 'n kompakte vorm of snelskrif vir binêre stukkies. Elke blok syfer is gelykstaande aan 4 binêre stukkies, dit wil sê snelskrif vir 4 stukkies, soos volg: Vervang elke blok syfer deur die 4 ekwivalent stukkies, vir voorbeelde, Omskakeling van Binary om heksadesimale Vanaf die mees regse bietjie (minste beduidende bis) elke groep 4 stukkies te vervang deur die ekwivalent Hex syfer (pad links-mees stukkies met 'n nul indien nodig), vir voorbeelde, is dit belangrik om daarop te let dat heksadesimale getal bied 'n kompakte vorm of snelskrif vir die voorstelling binêre stukkies. Omskakeling van Base r om Desimale (Base 10) Gegewe 'n N - digit basis r nommer: DN-1 dn-2 dn-3. D3 d2 D1 D0 (basis r), is die desimale ekwivalent gegee deur: Gesprek van Desimale (Base 10) om Base r Gebruik herhaalde verdeling / res. Byvoorbeeld, die bogenoemde prosedure is eintlik van toepassing op omskakeling tussen enige 2 base stelsels. Byvoorbeeld, Algemene Gesprek tussen 2 Base Systems met breukdeel Skei die integrale en die breukdele. Vir die integrale deel, deel dit deur die teiken Radix repeatably, en versamel die Restant in omgekeerde volgorde. Vir die breukdeel, vermeerder die breukdeel van die teiken Radix repeatably, en versamel die integrale deel in dieselfde volgorde. Oefeninge (nommer Systems Gesprek) Skakel die volgende desimale getalle in binêr en heksadesimale getalle: 108 4848 9000 Skakel die volgende binêre getalle na heksadesimale en desimale getalle: 1000011000 10000000 101010101010 Skakel die volgende heksadesimale getalle na binêre en desimale getalle: ABCDE 1234 80F Skakel die volgende desimale getalle in binêr ekwivalent: 19.25D 123.456D Antwoorde Jy kan die Windows sakrekenaar (calc. exe) gebruik om uit te voer getallestelsel bekering, deur dit aan die wetenskaplike modus. (Run quotcalcquot → Prestaties Kies quotViewquot spyskaart → Prestaties Kies quotProgrammerquot of quotScientificquot af.) 1101100B. 1001011110000B. 10001100101000B. 6CH. 12F0H. 2328H. 218H. 80H. Aaah. 536D. 128D. 2730D. 10101011110011011110B. 1001000110100B. 100000001111B. 703710D. 4660D. 2063D. Rekenaar Memory amp datavoorstelling rekenaar gebruik 'n vaste aantal stukkies om 'n stukkie van die data, wat 'n aantal, 'n karakter, of ander kan wees verteenwoordig. A N - bit stoor plek kan verteenwoordig tot 2 N duidelike entiteite. Byvoorbeeld, kan 'n 3-bit geheue plek een van hierdie agt binêre patrone hou: 000. 001. 010. 011. 100. 101. 110. 111. of Vandaar, kan dit by die meeste 8 afsonderlike entiteite verteenwoordig. Jy kan dit gebruik om getalle voor te stel 0-7, getalle 8881-8888, karakters A tot H, of tot 8 soorte vrugte soos appels, oranje, piesang of tot 8 soorte diere soos leeus, tiere, ens Heelgetalle, byvoorbeeld, kan in 8-bit, 16-bit, 32-bis of 64-bit. Jy, as die programmeerder, kies 'n geskikte bietjie lengte vir jou heelgetalle. Jou keuse sal dwang op te lê op die omvang van heelgetalle wat voorgestel kan word. Behalwe die bietjie-lengte, kan 'n heelgetal verteenwoordig in verskeie verteenwoordiging skemas, bv ongetekende teen onderteken heelgetalle. 'N 8-bis ongetekende heelgetal het 'n verskeidenheid van 0-255, terwyl 'n 8-bis onderteken heelgetal het 'n verskeidenheid van -128 tot 127 - beide wat 256 verskillende getalle. Dit is belangrik om daarop te let dat 'n rekenaar geheue plek net 'n binêre patroon stoor. Dit is heeltemal aan jou, as die programmeerder, om te besluit oor hoe hierdie patrone is om geïnterpreteer. Byvoorbeeld, kan die 8-bis binêre patroon quot0100 0001Bquot geïnterpreteer word as 'n ongetekende heelgetal 65. of 'n ASCII karakter A. of 'n geheime inligting net bekend aan jou. Met ander woorde, moet jy eers besluit hoe om 'n stukkie van die data voor te stel in 'n binêre patroon voor die binêre patrone maak sin. Die interpretasie van binêre patroon is datavoorstelling of enkodering genoem. Verder is dit belangrik dat die data verteenwoordiging skemas ooreengekome deur al die partye, naamlik industriële standaarde moet word geformuleer en straightly gevolg. Sodra jy op die data verteenwoordiging skema besluit, sekere beperkinge, in die besonder, die presisie en verskeidenheid opgelê sal word. Daarom is dit belangrik om datavoorstelling te verstaan ​​om korrekte en 'n hoë-prestasie programme te skryf. Rosette Stone en die ontsyfering van Egiptiese Hiërogliewe Egiptiese hiërogliewe (langs na links) is wat gebruik word deur die antieke Egiptenare sedert 4000BC. Ongelukkig sedert 500 nC, niemand kon meer lees die antieke Egiptiese hiërogliewe, totdat die herontdekking van die Rosette Stone in 1799 deur Napoleon bende (tydens Napoleon Egiptiese inval) naby die dorp van Rashid (Rosetta) in die Nyl Delta. Die Rosetta Stone (links) is geskrywe met 'n bevel in 196BC namens Koning Ptolemeus V Die besluit kom in drie skrifte: die boonste teks is Antieke Egiptiese hiërogliewe. die middel gedeelte Demotiese skrif, en die laagste Antieke Grieks. Want dit bied basies dieselfde teks in al drie skrifte, en Antieke Griekse kon nog verstaan ​​word, dit op voorwaarde dat die sleutel tot die ontsyfering van die Egiptiese hiërogliewe. Die moraal van die storie is nie, tensy jy weet wat die enkodering skema, daar is geen manier dat jy die data kan ontsyfer. Verwysing en beelde: Wikipedia. Integer Verteenwoordiging Heelgetalle is heelgetalle of vaste punt getalle met die na die minste beduidende bietjie vaste Radix punt. Hulle is anders as reële getalle of swaai-punt getalle. waar die posisie van die radix punt wissel. Dit is belangrik om daarop te let dat heelgetalle en swaai-punt getalle anders behandel word in rekenaars te neem. Hulle het verskillende verteenwoordiging en word verskillend verwerk (bv swaai-punt getalle verwerk in 'n sogenaamde swaai-punt verwerker). Swaai-punt getalle sal later bespreek word. Rekenaars gebruik 'n vaste aantal bisse na 'n heelgetal verteenwoordig. Die algemeen-gebruikte bietjie-lengtes vir heelgetalle is 8-bit, 16-bit, 32-bis of 64-bit. Behalwe bietjie-lengtes, is daar twee verteenwoordiging skemas vir heelgetalle: Unsigned Heelgetalle. kan verteenwoordig nul en positiewe heelgetalle. Onderteken Heelgetalle. kan verteenwoordig nul, positiewe en negatiewe heelgetalle. Drie verteenwoordiging skemas het voorgestel vir onderteken heelgetalle: Teken die Richterskaal verteenwoordiging 1s Complement verteenwoordiging 2s Complement verteenwoordiging Jy, as die programmeerder, moet besluit oor die bietjie lengte en verteenwoordiging skema vir jou heelgetalle, afhangende van jou programme vereistes. Veronderstel dat jy 'n toonbank vir tel 'n klein hoeveelheid van 0 tot 200 nodig, kan jy die 8-bis ongetekende heelgetal skema te kies, want daar is geen negatiewe getalle wat betrokke is. N - bit Unsigned Heelgetalle Unsigned heelgetalle kan nul en positiewe heelgetalle, maar nie negatiewe heelgetalle verteenwoordig. Die waarde van 'n ongetekende heelgetal is geïnterpreteer as quot die grootte van sy onderliggende binêre patroon quot. Voorbeeld 1: Gestel N 8 en die binêre patroon is 0100 0001B. die waarde van hierdie unsigned heelgetal is 1times20 1times26 65D. Voorbeeld 2: Gestel N 16 en die binêre patroon is 0001 0000 0000 1000B. die waarde van hierdie unsigned heelgetal is 1times23 1times212 4104D. Voorbeeld 3: Gestel N 16 en die binêre patroon is 0000 0000 0000 0000B. die waarde van hierdie unsigned heelgetal is 0. 'N N - bit patroon kan verteenwoordig 2 N duidelike heelgetalle. 'N N - bit ongetekende heelgetal heelgetalle vanaf 0 kan verteenwoordig by (2 N) -1. soos hieronder getabuleer: Geteken Heelgetalle Geteken heelgetalle kan verteenwoordig nul, positiewe heelgetalle, sowel as negatiewe heelgetalle. Drie verteenwoordiging skemas beskikbaar vir onderteken heelgetalle: Teken die Richterskaal verteenwoordiging 1s Complement verteenwoordiging 2s Complement verteenwoordiging In al die bogenoemde drie skemas, die mees beduidende bietjie (MSB) staan ​​bekend as die teken bietjie. Die teken bietjie gebruik word om die teken van die heelgetal verteenwoordig - met 0 vir positiewe heelgetalle en 1 vir negatiewe heelgetalle. Die grootte van die heelgetal is egter verskillend geïnterpreteer in verskillende skemas. N - bit Teken Heelgetalle in Teken Richterskaal verteenwoordiging in teken-grootte verteenwoordiging: Die mees beduidende bietjie (MSB) is die teken bietjie. ter waarde van 0 verteenwoordig positiewe heelgetal en 1 wat negatiewe heelgetal. Die oorblywende N -1 stukkies verteenwoordig die grootte (absolute waarde) van die heelgetal. Die absolute waarde van die heelgetal is geïnterpreteer as quotthe grootte van die (N -1) - bit binêre patternquot. Voorbeeld 1. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling is 0 100 0001B. Teken bietjie is 0 → Prestaties positiewe Absolute waarde is 100 0001B 65D Vandaar die heelgetal is 65D Voorbeeld 2. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling is 1 000 0001B. Teken bietjie is 1 → Prestaties negatiewe Absolute waarde is 000 0001B 1D Vandaar die heelgetal is -1D Voorbeeld 3. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling is 0 000 0000B. Teken bietjie is 0 → Prestaties positiewe Absolute waarde is 000 0000B 0D Vandaar die heelgetal is 0D Voorbeeld 4. Gestel N 8 en die binêre voorstelling is 1 000 0000B. Teken bietjie is 1 → Prestaties negatiewe Absolute waarde is 000 0000B 0D Vandaar die heelgetal is -0D Die nadele van teken-grootte verteenwoordiging is: Daar is twee vertoë (0000 0000B en 1000 0000B) vir die getal nul, wat kan lei tot ondoeltreffendheid en verwarring. Positiewe en negatiewe heelgetalle moet afsonderlik te verwerk. N - bit Teken Heelgetalle in 1s Complement verteenwoordiging in 1s aanvulling verteenwoordiging: Weereens, die belangrikste bietjie (MSB) is die teken bietjie. ter waarde van 0 verteenwoordig positiewe heelgetalle en 1 wat negatiewe heelgetalle. Die oorblywende N -1 stukkies verteenwoordig die grootte van die heelgetal, soos volg: vir positiewe heelgetalle, die absolute waarde van die heelgetal is gelyk aan quotthe grootte van die (N -1) - bit binêre patternquot. vir negatiewe heelgetalle, die absolute waarde van die heelgetal is gelyk aan quotthe grootte van die aanvulling (omgekeerde) van die (N -1) - bit binêre patternquot (vandaar die naam 1s aanvulling). Voorbeeld 1. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling 0 100 0001B. Teken bietjie is 0 → Prestaties positiewe Absolute waarde is 100 0001B 65D Vandaar die heelgetal is 65D Voorbeeld 2. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling 1 000 0001B. Teken bietjie is 1 → Prestaties negatiewe Absolute waarde is die aanvulling van 000 0001B. maw 111 1110B 126D Vandaar die heelgetal is -126D Voorbeeld 3. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling 0 000 0000B. Teken bietjie is 0 → Prestaties positiewe Absolute waarde is 000 0000B 0D Vandaar die heelgetal is 0D Voorbeeld 4. Gestel N 8 en die binêre voorstelling 1 111 1111B. Teken bietjie is 1 → Prestaties negatiewe Absolute waarde is die aanvulling van 111 1111B. maw 000 0000B 0D Vandaar die heelgetal is -0D Weereens, die nadele is: Daar is twee vertoë (0000 0000B en 1111 1111B) vir 'n nul. Die positiewe heelgetalle en negatiewe heelgetalle moet afsonderlik te verwerk. N - bit Teken Heelgetalle in 2's Complement verteenwoordiging in 2's komplement voorstelling: Weereens, die belangrikste bietjie (MSB) is die teken bietjie. ter waarde van 0 verteenwoordig positiewe heelgetalle en 1 wat negatiewe heelgetalle. Die oorblywende N -1 stukkies verteenwoordig die grootte van die heelgetal, soos volg: vir positiewe heelgetalle, die absolute waarde van die heelgetal is gelyk aan quotthe grootte van die (N -1) - bit binêre patternquot. vir negatiewe heelgetalle, die absolute waarde van die heelgetal is gelyk aan quotthe grootte van die aanvulling van die (N -1) - bit binêre patroon plus een quot (vandaar die naam 2s aanvulling). Voorbeeld 1. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling 0 100 0001B. Teken bietjie is 0 → Prestaties positiewe Absolute waarde is 100 0001B 65D Vandaar die heelgetal is 65D Voorbeeld 2. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling 1 000 0001B. Teken bietjie is 1 → Prestaties negatiewe Absolute waarde is die aanvulling van 000 0001B plus 1. maw 111 1110B 1B 127D Vandaar die heelgetal is -127D Voorbeeld 3. Veronderstel dat N 8 en die binêre voorstelling 0 000 0000B. Teken bietjie is 0 → Prestaties positiewe Absolute waarde is 000 0000B 0D Vandaar die heelgetal is 0D Voorbeeld 4. Gestel N 8 en die binêre voorstelling 1 111 1111B. Teken bietjie is 1 → Prestaties negatiewe Absolute waarde is die aanvulling van 111 1111B plus 1. dws 000 0000B 1B 1D Vandaar die heelgetal is -1D Rekenaars gebruik 2s Complement Verteenwoordiging vir Geteken Heelgetalle Ons het drie vertoë bespreek vir onderteken heelgetalle: onderteken-grootte, 1s aanvul en 2's aan te vul. Rekenaars gebruik 2s aanvulling in wat onderteken heelgetalle. Dit is omdat: Daar is net een verteenwoordiging vir die getal nul in 2's komplement, in plaas van twee vertoë in teken-grootte en 1s aanvulling. Positiewe en negatiewe heelgetalle kan saam behandel in optel en aftrek. Aftrek uitgevoer kan word met behulp van die quotaddition logicquot. Voorbeeld 1: samevoeging van twee positiewe heelgetalle: Veronderstel dat N8, 65D 5D 70D Voorbeeld 2: Aftrekking word beskou as toevoeging van 'n positiewe en 'n negatiewe heelgetalle: Veronderstel dat N8, 5D - 5D 65D (-5D) 60D Voorbeeld 3: Optel van twee negatiewe heelgetalle: Veronderstel dat N8, -65D - 5D (-65D) (-5D) -70D As gevolg van die vaste presisie (dws vaste aantal bisse), 'n n - bit 2s vul onderteken heelgetal het 'n sekere reeks. Byvoorbeeld, vir N 8. die reeks 2s komplementeer onderteken heelgetalle is -128 tot 127. In byvoeging (en aftrek), is dit belangrik om vas te stel of die gevolg oorskry hierdie reeks, met ander woorde, of oorloop of onderloop plaasgevind het. Voorbeeld 4: Oorloop: Veronderstel dat N8, 127D 2D 129 D (oorloop - buite die omvang) Voorbeeld 5: onderloop: Veronderstel dat N8, -125D - 5D -130D (onderloop - onder die reeks) Die volgende diagram verduidelik hoe die 2s vul werke . Deur weer die reël van die getallelyn, is waardes van -128 tot 127 aansluitend verteenwoordig deur ignoreer die oordrag bietjie. Verskeidenheid van N - bit 2s aanvul Geteken Heelgetalle 'n N - bit 2s vul onderteken heelgetal kan heelgetalle verteenwoordig uit -2 (N -1) tot 2 (N -1) -1. soos getabuleer. Let daarop dat die skema al die heelgetalle kan verteenwoordig in die reeks, sonder enige gaping. Met ander woorde, daar is geen vermiste heelgetalle binne die ondersteuning reeks. (263) -1 (9.223.372.036.854.775.807) (18 syfers) Dekodering 2s Complement Nommers Gaan die teken bietjie (aangedui as S). As S0. die getal positief en sy absolute waarde is die binêre waarde van die oorblywende N -1 stukkies. As S1. die aantal negatief. jy kan die N -1 stukkies en plus 1quot quotinvert om die absolute waarde van negatiewe getal te kry. Alternatiewelik kan jy die oorblywende N -1 stukkies van die reg (minste beduidende bis) scan. Kyk uit vir die eerste voorkoms van 1. Flip al die stukkies aan die linkerkant van die eerste voorkoms van 1. Die omgekeer patroon gee die absolute waarde. Byvoorbeeld, Big endian teen Little endian Moderne rekenaars winkel een byte van data in elke geheue adres of plek, dit wil sê byte aanspreekbaar geheue. 'N 32-bis integriteit is dus gestoor in 4 geheue adresse. Die termquotEndianquot verwys na die einde van die stoor grepe in die rekenaar geheue. In quotBig Endianquot skema, is die belangrikste byte gestoor eerste in die laagste geheue adres (of groot in die eerste), terwyl quotLittle Endianquot winkels die minste beduidende grepe in die laagste geheue adres. Byvoorbeeld, is die 32-bis integriteit 12345678H (2215053170 10) gestoor as 12H 34H 56h 78H in groot endian en 78H 56h 34H 12H in klein endian. 'N 16-bis integriteit 00H 01H word geïnterpreteer as 0001H in groot endian en 0100H so min endian. Oefening (Integer Verteenwoordiging) Wat is die omvang van 8-bit, 16-bit, 32-bit en 64-bis integriteit, in quotunsignedquot en quotsignedquot verteenwoordiging Gee die waarde van 88. 0. 1. 127. en 255 in 8-bit ongetekende verteenwoordiging. Gee die waarde van 88. -88. -1. 0. 1. -128. en 127 in 8-bit 2s komplementeer onderteken verteenwoordiging. Gee die waarde van 88. -88. -1. 0. 1. -127. en 127 in 8-bit teken-grootte verteenwoordiging. Gee die waarde van 88. -88. -1. 0. 1. -127 en 127 in 8-bit 1s vul verteenwoordiging. TODO meer. Antwoorde Die reeks ongetekende N - bit heelgetalle is 0, 2n - 1. Die omvang van N - bit 2s vul onderteken heelgetal is -2 (N-1), 2 (N-1) -1 88 (0101 1000). 0 (0000 0000). 1 (0000 0001). 127 (0111 1111). 255 (1111 1111). 88 (0101 1000). -88 (1010 1000). -1 (1111 1111). 0 (0000 0000). 1 (0000 0001). -128 (1000 0000). 127 (0111 1111). 88 (0101 1000). -88 (1101 1000). -1 (1000 0001). 0 (0000 0000 of 1000 0000). 1 (0000 0001). -127 (1111 1111). 127 (0111 1111). 88 (0101 1000). -88 (1010 0111). -1 (1111 1110). 0 (0000 0000 of 1111 1111). 1 (0000 0001). -127 (1000 0000). 127 (0111 1111). Swaai-punt nommer Verteenwoordiging n swaai-punt nommer (of reële getal) kan verteenwoordig 'n baie groot (1.23times1088) of 'n baie klein (1.23times10-88) waarde. Dit kan ook verteenwoordig 'n baie groot negatiewe getal (-1.23times1088) en baie klein negatiewe getal (-1.23times1088), sowel as nul, soos geïllustreer: 'n swaai-punt nommer is tipies uitgedruk in die wetenskaplike notasie, met 'n fraksie (F ), en 'n eksponent (E) van 'n sekere radix (r), in die vorm van FtimesrE. Desimale getalle gebruik radix van 10 (Ftimes10E) terwyl binêre getalle te gebruik radix van 2 (Ftimes2E). Voorstelling van drywende punt nommer is nie uniek nie. Byvoorbeeld, kan die aantal 55,66 voorgestel word as 5.566times101. 0.5566times102. 0.05566times103. en so aan. Die breukdeel kan genormaliseer. In die genormaliseerde vorm, is daar slegs 'n enkele nie-nul syfer voor die radix punt. Byvoorbeeld, kan desimale getal 123.4567 genormaliseer wees as 1.234567times102 binêre getal 1010.1011B genormaliseer kan word as 1.0101011Btimes23. Dit is belangrik om daarop te let dat swaai-punt getalle ly verlies van presisie wanneer verteenwoordig met 'n vaste aantal bisse (bv 32-bis of 64-bit). Dit is omdat daar oneindige aantal van reële getalle (selfs binne 'n klein reeks sê 0,0-0,1). Aan die ander kant, 'n N - bit binêre patroon kan 'n beperkte 2 N duidelike getalle verteenwoordig. Dus, nie al die reële getalle kan voorgestel word. Die naaste benadering sal gebruik word in plaas, het gelei tot die verlies van akkuraatheid. Dit is ook belangrik om daarop te let dat swaai aantal rekenkundige is baie minder doeltreffend as heelgetal rekenkunde. Dit kan bespoedig met 'n sogenaamde toegewyde swaai-punt mede-verwerker. Dus, gebruik heelgetalle as jou aansoek nie swaai-punt nommers vereis. In rekenaars, swaai-punt getalle wat in wetenskaplike notasie van fraksie (F) en eksponent (E) met 'n radix van 2, in die vorm van Ftimes2E. Beide E en F kan positief sowel as negatief wees. Moderne rekenaars neem IEEE 754 standaard vir wat swaai-punt getalle. Daar is twee verteenwoordiging skemas: 32-bit enkel-presisie en 64-bit dubbel presisie. IEEE-754 32-bit Enkellopend-Precision swaai-punt getalle in 32-bit enkel-presisie swaai-punt verteenwoordiging: Die belangrikste bietjie is die teken bietjie (S), met 0 vir positiewe getalle en 1 vir negatiewe getalle. Die volgende 8 stukkies verteenwoordig eksponent (E). Die oorblywende 23 stukkies verteenwoordig fraksie (F). Genormaliseer Form Kom illustreer met 'n voorbeeld, veronderstel dat die 32-bit patroon is 1 1000 0001 011 0000 0000 0000 0000 0000. met: S 1 E 1000 0001 F 011 0000 0000 0000 0000 0000 In die genormaliseerde vorm. die werklike breuk is genormaliseer met 'n implisiete leidende 1 in die vorm van 1.F. In hierdie voorbeeld, die werklike breuk is 1,011 0000 0000 0000 0000 0000 1 12-2 12-3 1.375D. Die teken bietjie verteenwoordig die teken van die nommer, met S0 vir positiewe en S1 vir negatiewe getal. In hierdie voorbeeld met S1. Dit is 'n negatiewe getal, maw -1.375D. In genormaliseer vorm, die werklike eksponent is E-127 (sogenaamde oortollige-127 of vooroordeel-127). Dit is omdat ons nodig het om beide positiewe en negatiewe eksponent verteenwoordig. Met 'n 8-bis E, wat wissel 0-255, kan die oorskot-127 skema werklike eksponent van -127 tot 128 verskaf In hierdie voorbeeld E-127129-1272D. Dus, die getal verteenwoordig is -1.37522-5.5D. De-genormaliseerde vorm genormaliseer vorm het 'n ernstige probleem met 'n implisiete voorste 1 vir die breuk, kan dit nie verteenwoordig die aantal nul Oortuig jouself op hierdie de-genormaliseer vorm is ontwerp om verteenwoordig nul en ander getalle. Vir E0. die nommers is in die de genormaliseer vorm. 'N implisiete leidende 0 (in plaas van 1) word gebruik vir die breuk en die werklike eksponent is altyd -126. Dus, kan die getal nul word verteenwoordig met E0 en F0 (omdat ,02-1.260). Ons kan ook baie klein positiewe en negatiewe getalle verteenwoordig in de-genormaliseer vorm met E0. Byvoorbeeld, as S1. E0. en F011 0000 0000 0000 0000 0000. Die werklike breuk is 0.01112-212-30.375D. Sedert S1. Dit is 'n negatiewe getal. Met E0. die werklike eksponent is -126. Vandaar die getal is -0.3752-126 -4.4times10-39. wat is 'n baie klein negatiewe getal (naby aan nul). Opsomming In opsomming, is die waarde (N) soos volg bereken: Vir 1 Le E le 254, N (-1) S keer 1.F keer 2 (E-127). Hierdie getalle is in die sogenaamde genormaliseer vorm. Die teken-bit verteenwoordig die teken van die getal. Breukdeel (1.F) is genormaliseer met 'n implisiete voorste 1. Die eksponent is vooroordeel (of meer as) van 127. sodat verteenwoordig beide positiewe en negatiewe eksponent. Die omvang van die eksponent is -126 tot 127. Vir E 0, N (-1) S keer 0.F keer 2 (-126). Hierdie getalle is in die sogenaamde denormalized vorm. Die eksponent van 2-126 evalueer om 'n baie klein aantal. Denormalized vorm is nodig om verteenwoordig nul (met F0 en E0). Dit kan ook verteenwoordig baie klein positiewe en negatiewe getal naby aan nul. Vir E 255. verteenwoordig dit spesiale waardes, soos plusmnINF (positiewe en negatiewe oneindigheid) en NaN (nie 'n aantal). Dit is buite die bestek van hierdie artikel. Voorbeeld 1: Gestel IEEE-754 32-bit swaai-punt verteenwoordiging patroon is 0 10000000 110 0000 0000 0000 0000 0000. Voorbeeld 2: Gestel IEEE-754 32-bit swaai-punt verteenwoordiging patroon is 1 01111110 100 0000 0000 0000 0000 0000. Voorbeeld 3: Veronderstel dat IEEE-754 32-bit swaai-punt verteenwoordiging patroon is 1 01111110 000 0000 0000 0000 0000 0001. Voorbeeld 4 (De-genormaliseerde vorm): Gestel IEEE-754 32-bit swaai-punt verteenwoordiging patroon is 1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0001. Oefeninge (Floating-punt Nommers) Bereken die grootste en kleinste positiewe nommers wat in die 32-bit genormaliseer vorm voorgestel kan word. Bereken die grootste en kleinste negatiewe getalle kan voorgestel word in die 32-bit genormaliseer vorm. Herhaal (1) vir die 32-bit denormalized vorm. Herhaal (2) vir die 32-bit denormalized vorm. Wenke: Grootste positiewe getal: S0. E1111 1110 (254). F111 1111 1111 1111 1111 1111. Kleinste positiewe getal: S0. E0000 00001 (1). F000 0000 0000 0000 0000 0000. Dieselfde as hierbo, maar S1. Grootste positiewe getal: S0. E0. F111 1111 1111 1111 1111 1111. Kleinste positiewe getal: S0. E0. F000 0000 0000 0000 0000 0001. Dieselfde as hierbo, maar S1. Notes Vir Java Gebruikers Jy kan JDK metodes Float. intBitsToFloat (int stukkies) of Double. longBitsToDouble (lang stukkies) gebruik om 'n enkel-presisie 32-bit float of dubbel-presisie 64-bit dubbel met die spesifieke bietjie patrone, en druk te skep hul waardes. Vir voorbeelde, IEEE-754 64-bit Double-Precision swaai komma Nommers Die skema verteenwoordiging vir 64-bit dubbel presisie is soortgelyk aan die 32-bit enkel-presisie: Die belangrikste bietjie is die teken bietjie (S), met 0 vir positiewe getalle en 1 vir negatiewe getalle. Die volgende 11 stukkies verteenwoordig eksponent (E). Die oorblywende 52 stukkies verteenwoordig fraksie (F). Die waarde (N) word soos volg bereken: genormaliseerde vorm: Vir 1 Le E le 2046, N (-1) S keer 1.F keer 2 (E-1023). Denormalized vorm: Vir E 0, N (-1) S keer 0.F keer 2 (-1.022). Dit is in die denormalized vorm. Vir E 2047. N verteenwoordig spesiale waardes, soos plusmnINF (oneindig), NaN (nie 'n aantal). Meer oor swaai komma Verteenwoordiging Daar is drie dele in die swaai-punt verteenwoordiging: Die teken bietjie (S) is selfverduidelikend (0 vir positiewe getalle en 1 vir negatiewe getalle). Vir die eksponent (E), is 'n sogenaamde vooroordeel (of oortollige) toegepas ten einde beide positiewe en negatiewe eksponent verteenwoordig. Die vooroordeel is ingestel op die helfte van die reeks. Vir enkele presisie met 'n 8-bis eksponent, die vooroordeel is 127 (of oortollige-127). Vir dubbele presisie met 'n 11-bit eksponent, die vooroordeel is 1023 (of oortollige-1023). Die breuk (F) (ook bekend as die MANTISSA of significand) is saamgestel uit 'n implisiete leidende bietjie (voor die radix punt) en die fraksionele stukkies (ná die radix punt). Die voorste deel vir genormaliseer getalle is 1 terwyl die voorste bietjie vir denormalized getalle is 0. genormaliseerde swaai-punt getalle in genormaliseerde vorm, is die radix punt geplaas na die eerste nie-nul syfer, e, g. 9.8765D10-23D. 1.001011B211B. Vir binêre nommer, die voorste bietjie is altyd 1, en hoef nie uitdruklik verteenwoordig - dit spaar 1 bietjie van die stoor. In IEEE 754s genormaliseer vorm: Vir enkel-presisie, 1 Le E le 254 met 'n oormaat van 127. Dus, die werklike eksponent is van -126 tot 127 negatiewe eksponente gebruik word om klein getalle verteenwoordig (LT 1.0), terwyl positiewe eksponente gebruik word om groot getalle (GT 1.0) verteenwoordig. N (-1) S keer 1.F keer 2 (E-127) Vir dubbel-presisie, 1 Le E le 2046 met 'n oormaat van 1023. Die werklike eksponent is van -1.022 om 1023. en N (-1) S keer 1.F keer 2 (E-1023) let daarop dat n-bit patroon het 'n beperkte aantal kombinasies (2n), wat eindig duidelike getalle kan verteenwoordig. Dit is nie moontlik om die oneindige getalle in die reële as verteenwoordig (selfs 'n klein verskeidenheid sê 0,0-1,0 het oneindige getalle). Dit wil sê, nie almal swaai-punt getalle kan akkuraat verteenwoordig. In plaas daarvan, is die naaste benadering gebruik, wat lei tot die verlies van akkuraatheid. Die minimum en maksimum genormaliseer swaai-punt getalle is: 0000 0001H 0 00000000 00000000000000000000001B E 0, F 00000000000000000000001B D (min) 0.0. onderskeidelik. Bv Voorbeeld. Voorbeeld. .